Ce que vous allez travailler
Un objectif clair.
- Démontrer qu’une suite est strictement croissante et majorée.
- Transformer une relation affine en suite géométrique.
- Calculer un rang minimal et interpréter le résultat dans une situation concrète.
Avant de commencer
- Calculer les premiers termes d’une suite définie par récurrence.
- Connaître la formule explicite et la limite d’une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1.
- Utiliser le logarithme pour résoudre une inégalité exponentielle.
Le sujet
À vous de chercher.
Une serre utilise une réserve d’eau renouvelée chaque jour. Le volume initial est u₀ = 156 litres.
Chaque jour, on conserve les 3/5 de l’eau présente, puis on ajoute 72 litres. La capacité du réservoir est supposée suffisante.
Après n jours, le volume est uₙ litres. Le modèle est donc uₙ₊₁ = (3/5)uₙ + 72, pour tout entier naturel n.
L’entraînement guidé comporte un exercice sur 20 points. La calculatrice est autorisée ; justifiez chaque étape.
Prenez le temps d’écrire votre raisonnement. Ouvrez ensuite la correction de chaque question pour comparer les étapes.
Question A1
Calculer u₁ et u₂ sous forme exacte.
Voir la correction de la question A1
u₁ = (3/5) × 156 + 72 = 828/5 litres, soit 165,6 litres.
u₂ = (3/5) × (828/5) + 72 = 4284/25 litres, soit 171,36 litres.
Question A2
Démontrer que uₙ < 180 pour tout n, puis que la suite est strictement croissante. Pour l’hérédité, utiliser (3/5) × 180 + 72 = 180 ; ensuite, factoriser uₙ₊₁ − uₙ.
Voir la correction de la question A2
Initialisation : u₀ = 156 < 180.
Si uₙ < 180, alors uₙ₊₁ = (3/5)uₙ + 72 < (3/5) × 180 + 72 = 180, car 3/5 est positif. La propriété est donc vraie par récurrence.
Par ailleurs, uₙ₊₁ − uₙ = 72 − (2/5)uₙ = (2/5)(180 − uₙ). Ce nombre est strictement positif : la suite est strictement croissante.
Question A3
En déduire que la suite (uₙ) converge.
Voir la correction de la question A3
La suite est croissante et majorée par 180. Elle converge donc d’après le théorème de convergence monotone.
Cette étape prouve l’existence de la limite. Sa valeur sera déterminée en B2.
Question B1
Poser vₙ = uₙ − 180. Démontrer que (vₙ) est géométrique, puis exprimer vₙ et uₙ en fonction de n. Calculer vₙ₊₁ en fonction de vₙ, puis utiliser la formule d’une suite géométrique.
Voir la correction de la question B1
vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 180 = (3/5)uₙ + 72 − 180 = (3/5)(uₙ − 180) = (3/5)vₙ.
La suite (vₙ) est géométrique de raison 3/5 et de premier terme v₀ = 156 − 180 = −24.
Ainsi vₙ = −24 × (3/5)ⁿ. En ajoutant 180, on obtient uₙ = 180 − 24 × (3/5)ⁿ.
Question B2
Déterminer la limite et l’interpréter dans le modèle.
Voir la correction de la question B2
Comme 0 < 3/5 < 1, la puissance (3/5)ⁿ tend vers 0. La formule de B1 donne donc uₙ → 180.
Le volume se rapproche de 180 litres. Il reste strictement inférieur à cette valeur à chaque jour fini, puisque 24 × (3/5)ⁿ reste strictement positif.
Question C1
Déterminer le premier jour où l’écart à la limite est strictement inférieur à 0,1 litre. Justifier la minimalité du rang. Résoudre 24 × (3/5)ⁿ < 0,1 en faisant attention au signe de ln(3/5).
Voir la correction de la question C1
L’écart vaut 180 − uₙ = 24 × (3/5)ⁿ. La condition est donc (3/5)ⁿ < 0,1/24.
Le logarithme est croissant : n ln(3/5) < ln(0,1/24). Comme ln(3/5) < 0, la division inverse le sens de l’inégalité : n > ln(0,1/24) / ln(3/5).
Le premier rang est 11. À n = 10, l’écart vaut environ 0,14512 litre ; à n = 11, il vaut environ 0,08707 litre. Le seuil est donc franchi pour la première fois au 11ᵉ jour.
Pour la prochaine fois
La méthode à retenir.
- Calculez d’abord deux termes pour comprendre le renouvellement quotidien.
- Prouvez par récurrence que le volume reste inférieur à 180 litres.
- Soustrayez la valeur d’équilibre 180 pour faire apparaître une suite géométrique.
- Pour le seuil, travaillez avec la valeur exacte, puis contrôlez le rang trouvé et le rang précédent.
Les points de vigilance
- Ajouter les 72 litres avant de multiplier par 3/5 : cela changerait le modèle donné.
- Confondre une limite avec une valeur atteinte après un nombre fini de jours.
- Oublier d’inverser l’inégalité en divisant par ln(3/5), qui est négatif.
- Arrondir trop tôt ou annoncer un rang sans vérifier le rang précédent.