Ce que vous allez travailler
Un objectif clair.
- Distinguer le nombre de pièces défectueuses du nombre de lots signalés.
- Calculer des probabilités exactes puis les arrondir à la précision demandée.
- Déterminer le nombre minimal de lots garantissant au moins 95 % de probabilité de détection.
Avant de commencer
- Reconnaître des épreuves de Bernoulli indépendantes et une loi binomiale.
- Calculer une probabilité avec l’événement contraire.
- Connaître l’espérance et la variance d’une loi binomiale ; utiliser le logarithme pour un seuil.
Le sujet
À vous de chercher.
Chaque pièce est défectueuse avec la probabilité p = 3/20. Les états de toutes les pièces sont mutuellement indépendants, au sein d’un lot comme entre lots.
Un lot contient 6 pièces. Il est signalé dès qu’il contient au moins une pièce défectueuse. On note X le nombre de pièces défectueuses d’un lot.
L’entraînement comporte un exercice sur 20 points. La calculatrice est autorisée ; les arrondis demandés ne remplacent pas les expressions exactes.
Prenez le temps d’écrire votre raisonnement. Ouvrez ensuite la correction de chaque question pour comparer les étapes.
Question A1
Justifier la loi de X et calculer les probabilités d’avoir zéro puis exactement une pièce défectueuse.
Voir la correction de la question A1
On répète 6 épreuves indépendantes, à deux issues, avec la même probabilité de défaut p = 3/20. Donc X suit la loi binomiale B(6 ; 3/20).
P(X = 0) = (17/20)⁶ ≈ 0,3771.
P(X = 1) = 6 × (3/20) × (17/20)⁵ ≈ 0,3993. Le facteur 6 correspond aux six positions possibles de l’unique pièce défectueuse.
Question A2
Calculer la probabilité q qu’un lot soit signalé. Donner une expression exacte puis un arrondi au dix-millième.
Voir la correction de la question A2
Un lot n’est pas signalé exactement lorsque X = 0. Donc q = P(X ≥ 1) = 1 − (17/20)⁶ ≈ 0,6229.
Pour toutes les questions suivantes, on conserve q = 1 − (17/20)⁶ ; on n’utilise pas l’arrondi 0,6229 à la place de q.
Question B1
On contrôle 11 lots. Soit Y le nombre de lots signalés. Justifier sa loi, puis donner son espérance et sa variance.
Voir la correction de la question B1
Les lots sont composés de pièces distinctes et leurs signalements sont indépendants, de même probabilité q. Donc Y suit la loi binomiale B(11 ; q).
L’espérance vaut E(Y) = 11q ≈ 6,8514.
La variance vaut V(Y) = 11q(1 − q) ≈ 2,5840.
Question B2
Calculer la probabilité qu’au plus un lot soit signalé. Arrondir au dix-millième.
Voir la correction de la question B2
« Au plus un » signifie zéro ou un. Les événements Y = 0 et Y = 1 sont incompatibles, donc on additionne leurs probabilités.
P(Y ≤ 1) = (1 − q)¹¹ + 11q(1 − q)¹⁰ ≈ 0,0004.
Question C1
On choisit le nombre N ≥ 1 de lots contrôlés. Déterminer le plus petit N pour que la probabilité de détecter au moins un lot défectueux soit supérieure ou égale à 19/20. Justifier la minimalité.
Voir la correction de la question C1
La probabilité recherchée est 1 − (1 − q)ᴺ. On veut 1 − (1 − q)ᴺ ≥ 19/20, soit (1 − q)ᴺ ≤ 1/20.
En prenant le logarithme puis en divisant par ln(1 − q) < 0, on obtient N ≥ ln(1/20) / ln(1 − q).
Le premier entier convenable est N = 4. Pour 3 lots, la probabilité est environ 0,946354 < 0,95 ; pour 4 lots, elle est environ 0,979767 ≥ 0,95.
La probabilité augmente avec N, car 0 < 1 − q < 1. Ces deux valeurs prouvent que 4 est bien le nombre minimal de lots.
Pour la prochaine fois
La méthode à retenir.
- Pour chaque variable aléatoire, identifiez ce qui est compté, le nombre d’essais et la probabilité de succès.
- Pour « au moins un », calculez d’abord la probabilité de « aucun ».
- Gardez q sous forme exacte pour les calculs portant sur plusieurs lots.
- Validez un seuil entier en comparant les probabilités à ce rang et au rang précédent.
Les points de vigilance
- Utiliser p = 3/20 pour compter les lots : cette probabilité concerne une pièce ; celle d’un lot signalé est q.
- Confondre « au plus un » et « au moins un ».
- Réutiliser un q arrondi dans une puissance : conserver sa valeur exacte évite les erreurs d’arrondi.
- Choisir un entier proche du seuil sans vérifier qu’il satisfait l’inégalité et qu’il est minimal.