Ce que vous allez travailler
Un objectif clair.
- Étudier les variations de f(x) = ½ ln(eˣ + 2).
- Trouver l’unique solution de f(x) = x.
- Prouver qu’une suite est croissante et majorée, puis déterminer sa limite.
Avant de commencer
- Connaître les fonctions exponentielle et logarithme népérien.
- Dériver une composée et résoudre une équation du second degré.
- Savoir rédiger une récurrence et utiliser le théorème de convergence monotone.
Le sujet
À vous de chercher.
On étudie un procédé de calcul itératif. Une simulation peut aider à conjecturer, mais les conclusions doivent être démontrées.
Pour tout réel x, on pose f(x) = ½ ln(eˣ + 2). La suite (uₙ) est définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = f(uₙ).
L’entraînement comporte un exercice sur 20 points. La calculatrice est autorisée ; chaque réponse doit être justifiée.
Prenez le temps d’écrire votre raisonnement. Ouvrez ensuite la correction de chaque question pour comparer les étapes.
Question A1
Justifier que f est définie et dérivable sur ℝ. Calculer sa dérivée et étudier ses variations.
Voir la correction de la question A1
Pour tout réel x, eˣ > 0, donc eˣ + 2 > 0. Le logarithme est défini et la composition est dérivable sur ℝ.
En utilisant la dérivée de ln(v), on obtient f′(x) = eˣ / [2(eˣ + 2)]. Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs.
Ainsi f′(x) > 0 pour tout réel x : f est strictement croissante sur ℝ.
Question A2
Résoudre f(x) = x. On pourra poser t = eˣ.
Voir la correction de la question A2
L’équation équivaut à ln(eˣ + 2) = 2x, puis à e²ˣ = eˣ + 2.
Avec t = eˣ > 0, on obtient t² − t − 2 = 0, soit (t − 2)(t + 1) = 0.
La racine −1 est impossible puisque t > 0. Il reste t = 2, donc l’unique solution est x = ln 2.
Question B1
Calculer u₁ sous forme exacte et donner une valeur approchée au millième.
Voir la correction de la question B1
On remplace u₀ par 0 : u₁ = f(0) = ½ ln(1 + 2) = ½ ln 3 ≈ 0,549.
Comme 3 > 1, ln 3 > 0 : on a bien u₁ > u₀.
Question B2
Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ ln 2.
Voir la correction de la question B2
Initialisation : u₀ = 0 et 0 < ½ ln 3 < ½ ln 4 = ln 2. La propriété est vraie au rang 0.
Supposons 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ ln 2. Comme f est croissante, f(0) ≤ f(uₙ) ≤ f(uₙ₊₁) ≤ f(ln 2).
Or f(0) > 0, f(uₙ) = uₙ₊₁, f(uₙ₊₁) = uₙ₊₂ et f(ln 2) = ½ ln 4 = ln 2. Donc 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ ln 2.
La propriété est vraie à tout rang par récurrence.
Question B3
Justifier la convergence de la suite et déterminer sa limite.
Voir la correction de la question B3
D’après B2, la suite est croissante et majorée par ln 2. Le théorème de convergence monotone assure qu’elle converge vers un réel L.
La fonction f est continue. En passant à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ), on obtient L = f(L).
L’équation a une unique solution d’après A2. La limite de la suite est donc L = ln 2.
Pour la prochaine fois
La méthode à retenir.
- Vérifiez d’abord que l’argument du logarithme est strictement positif.
- Pour résoudre f(x) = x, posez t = eˣ et conservez la contrainte t > 0.
- Utilisez la croissance de f pour transmettre les inégalités d’un rang au suivant.
- Établissez la convergence avant de passer à la limite dans la relation de récurrence.
Les points de vigilance
- Écrire ln(eˣ + 2) = x + ln 2 : le logarithme d’une somme ne se décompose pas ainsi.
- Conserver la racine t = −1 alors que t représente une exponentielle, donc un nombre positif.
- Résoudre L = f(L) sans avoir d’abord démontré que la suite converge.